Hệ phương trình tuyến tính và cách giải

     

Mời các bạn thuộc tham khảo văn bản bài giảng Bài 1: Hệ phương thơm trình tuyến tính dưới đây nhằm tò mò về dạng biểu diễn ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính bởi phương pháp Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ pmùi hương trình tuyến tính thuần tốt nhất,...

Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính và cách giải


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương thơm trình đường tính bởi phương pháp Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

khi kia, hệ phương trình bên trên rất có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường hợp bao quát, ta xét hệ m phương thơm trình con đường tính nẩn nhỏng sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). khi kia, hệ phương trình bên trên rất có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) Điện thoại tư vấn là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) điện thoại tư vấn là ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ pmùi hương trình.X điện thoại tư vấn là vectơ ẩn.

2. Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính bằng phương thức Gauss.


Một phương thức thường dùng nhằm giải hệ pmùi hương trình đường tính là phương thức Gauss, gửi ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng lan can tuyệt bậc thang thu gọn, nhờ vào những phnghiền biến hóa sơ cấp bên trên dòng.

Xem thêm: Cách Làm Kem Chuối Với Sữa Tươi Của Kim Ngân, Cách Làm Món Kem Chuối Sữa Tươi Của Kim Ngân

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta gồm hệ phương thơm trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - altrộn ,x_3 = altrộn )

Nlỗi cố gắng, hệ pmùi hương trình tất cả rất nhiều nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:

(X = (4 - altrộn ;5 - altrộn ;alpha );altrộn in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta bao gồm hệ phương thơm trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ bao gồm nghiệm tốt nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có hệ pmùi hương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ pmùi hương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương thơm trình tuyến đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ bao gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ gồm vô số nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k Lúc đó, hệ phương trình tất cả k ẩn chính ứng cùng với k phần tử đứng vị trí số 1 và n - k ẩn tự do thoải mái, được chuyển lịch sự vế yêu cầu.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ gồm nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có rất nhiều nghiệm với 2 ẩn bao gồm ứng cùng với 2 bộ phận đứng vị trí số 1 là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta gồm hệ phương trình tất cả vô vàn nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracaltrộn 2;altrộn ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương thơm trình tuyến đường tính AX = B được call là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông ko suy biến chuyển , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Khi kia, ta có nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cấp của ma trận A hơi Khủng thì bài toán tìm(A^-1) tương thay đổi tinh vi. Hơn nữa, tất cả Lúc ta chi phải search một vài ba ẩn (x_j) cầm do toàn bộ các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ đó, bạn ta tìm thấy công thúc tính từng ẩn (x_j) dựa vào công thức (X = A^-1B) nhỏng sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đã có được trường đoản cú A bằng cách núm cột j vày vế buộc phải (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương trình con đường tính thuần độc nhất vô nhị.


Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 gọi là hệ thuần độc nhất. Ngoài những tính chất phổ biến của hệ AX = B, hệ thuần duy nhất AX = 0 còn có những đặc điểm riêng rẽ như sau :

Hệ luôn luôn bao gồm nghiệm bình thường X = 0 (không tồn tại ngôi trường đúng theo hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, không suy biến đổi thì hệ bao gồm nghiệm tuyệt nhất (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm bình thường.Nếu hệ bao gồm rất nhiều nghiệm thì tập nghiệm là 1 trong không khí bé của ko gian(R^n) (với n là số ẩn). Một đại lý của không gian nghiệm được Điện thoại tư vấn là 1 trong những hệ nghiệm cơ bạn dạng.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, đề xuất hệ bao gồm nghiệm tuyệt nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình con đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ bao gồm rất nhiều nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;altrộn ) = alpha ( - 1; - 2;1),altrộn in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

(X = (alpha + 2eta ;altrộn + eta ;alpha ;eta ) = altrộn (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.


Chuyên mục: